Qui est Pythagore ? Son théorème et ses racines carrées.

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Qui est Pythagore ? Son théorème et ses racines carrées.

Message par Red-Cherry=D le Lun 25 Oct - 16:11

Problème: --> Qui est Pythagore ?


Pythagore est un mathématicien, philosophe et scientifique qui serait apparement né autour de -580 av.Jc.
Pythagore est le premier penseur grec qui se serait auto-proclamé "philosophe".
Il inventa ce que nous étudions en ce moment: le théorème de Pythagore, qui permet de calculer une longueur inconnue d'un triangle rectangle et démontrer si une triangle ABC est rectangle ou ne l'est pas.



Petit cours mais grande note ! Smile

Le théorème de Pythagore.

1) Racine carrée: (non vue en cours, mais très rapidement sera fait)
La racine carrée d’un nombre positif x est le nombre positif dont le carré vaut x.

Exemple: Calculer la longueur AB du segment [AB] sachant que AB²=49.

AB²=49, 49²= 49 x 49 = 2401. AB=V49=7cm.

II- Le théorème de Pythagore.

Définition: Dire qu'un triangle est rectangle signifie que ce triangle a un angle droit.

/!\ Le coté opposé à l'angle droit se nomme : L'HYPOTENUSE.

Théorème de Pythagore:
*Si un triangle est rectangle, alors le carré de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
*Si dans un triangle rectangle, le carré du plus long carré est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.

Si ABC est rectangle en A, alors CB²=AB²+BC²
Si CB²=AB²+AC², alors le triangle ABC est rectangle en A.

Application:
Le théorème de Pythagore permet de:-Calculer le longueur d'un côté inconnu d'un triangle rectangle, connaissant les deux autres côtés.
-montrer qu'un triangle est rectangle
-montrer que ce triangle n'est pas rectangle.

a) Calculer la longueur inconnu d'un triangle rectangle.

ABC est un triangle rectangle en A tel que: AB=6cm et AC=8cm.
Trouver la longueur CB.

Appliquons le théorème de Pythagore (on doit toujours dire d'où viens le résultat), dans le triangle ABC rectangle.
BC²=AB²+AC²
BC²=6²+8²
BC²=36+64
BC²=100
BC=V100
BC=10

Donc BC=10 cm. Ici l'hypoténuse est inconnue. Donc voici comment procéder au dessus.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AC=4cm et BC=5cm
Calculer la longueur AB.

BC²=AB²+AC²
En remplaçant:
5²=AB²+4²
AB²=5²-4²
AB²=25-10
AB=V9
AB=3

Donc AB=3 cm. Ici un côté de l'angle droit est inconnu. Donc voici comment procéder.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) Démontrer qu'un triangle est rectangle
ABC est un triangle tel que AB=4cm, AC=6cm et BC=9cm.
Montrer que ce triangle est rectangle.

On repère le côté le plus long et on calcule son carré: BC²=9²=81
On calcule la somme des carrés des deux autres côtés: AB²+CA²= 4²+6² = 16+36 = 52
BC n'est pas égal à AB²+AC².
Par conséquent, d'aprèsn le théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle.

c) Démontrer qu'un triangle est rectangle
ABC est un triangle rectangle tel que AB=20 cm, AC=21 cm et CB=29 cm.
Montrer que ce triangle est rectangle.

BC²=29²=841
AC²+BA²=21²+20²=841.
BC²=AC²+AB²
Par conséquent, d'après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A



Ici les deux plus petits carrés sont égaux au plus grand. C'est le théorème de Pythagore.



Racine carrée, petit rappel


Rappellons d'abord la définition :

On appelle racine carrée d'un nombre positif x, un nombre positif a qui multiplié par lui-même donne x.
Ainsi on a a×a = x (ce que l'on peut noter a² = x). On note la racine carré de x : .
Des exemples : La racine carrée de 49 est 7 car 7² = 49, une valeur approchée de la racine carrée de 20 est 4,472... La racine carrée de - 5 n'existe pas car on ne peut pas trouver un nombre a tel que a² soit égal à - 5 : un carré est toujours positif !!

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